有限数学示例

$8000 e^{0.06 t} = 47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t}$

解题步骤 1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (8000 e^{0.06 t}) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

解题步骤 2

展开左边。

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解题步骤 2.1

将 $\ln (8000 e^{0.06 t})$ 重写为 $\ln (8000) + \ln (e^{0.06 t})$ 。

$\ln (8000) + \ln (e^{0.06 t}) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

解题步骤 2.2

通过将 $0.06 t$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{0.06 t})$ 。

$\ln (8000) + 0.06 t \ln (e) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

解题步骤 2.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (8000) + 0.06 t \cdot 1 = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

解题步骤 2.4

将 $0.06$ 乘以 $1$ 。

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

解题步骤 3

展开右边。

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解题步骤 3.1

将 $\ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ 重写为 $\ln (47000) + \ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ 。

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + \ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

解题步骤 3.2

通过将 $t$ 移到对数外来展开 $\ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ 。

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1 + \frac{0.03}{1})$

解题步骤 3.3

用 $0.03$ 除以 $1$ 。

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1 + 0.03)$

解题步骤 3.4

将 $1$ 和 $0.03$ 相加。

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1.03)$

解题步骤 4

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (8000) - \ln (47000) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

解题步骤 5

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{8000}{47000}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

解题步骤 6

约去 $8000$ 和 $47000$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

从 $8000$ 中分解出因数 $1000$ 。

$\ln (\frac{1000 (8)}{47000}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

解题步骤 6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $47000$ 中分解出因数 $1000$ 。

$\ln (\frac{1000 \cdot 8}{1000 \cdot 47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

$\ln (\frac{1000 \cdot 8}{1000 \cdot 47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

解题步骤 6.2.3

重写表达式。

$\ln (\frac{8}{47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

解题步骤 7

在等式两边都加上 $0.06 t$ 。

$\ln (\frac{8}{47}) - t \ln (1.03) + 0.06 t = 0$

解题步骤 8

从等式两边同时减去 $\ln (\frac{8}{47})$ 。

$- t \ln (1.03) + 0.06 t = - \ln (\frac{8}{47})$

解题步骤 9

从 $- t \ln (1.03) + 0.06 t$ 中分解出因数 $0.02 t$ 。

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解题步骤 9.1

从 $- t \ln (1.03)$ 中分解出因数 $0.02 t$ 。

$0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.06 t = - \ln (\frac{8}{47})$

解题步骤 9.2

从 $0.06 t$ 中分解出因数 $0.02 t$ 。

$0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.02 t (3) = - \ln (\frac{8}{47})$

解题步骤 9.3

从 $0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.02 t (3)$ 中分解出因数 $0.02 t$ 。

$0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$

解题步骤 10

将 $0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$ 中的每一项除以 $0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)$ 并化简。

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解题步骤 10.1

将 $0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$ 中的每一项都除以 $0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)$ 。

$\frac{0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

解题步骤 10.2

化简左边。

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解题步骤 10.2.1

约去 $0.02$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

解题步骤 10.2.1.2

重写表达式。

$\frac{t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{- 50 \ln (1.03) + 3} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

解题步骤 10.2.2

约去 $- 50 \ln (1.03) + 3$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.2.1

约去公因数。

$\frac{t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{- 50 \ln (1.03) + 3} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

解题步骤 10.2.2.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

解题步骤 10.3

化简右边。

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解题步骤 10.3.1

将负号移到分数的前面。

$t = - \frac{\ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

解题步骤 10.3.2

乘以 $1$ 。

$t = - \frac{1 \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

解题步骤 10.3.3

分离分数。

$t = - (\frac{1}{0.02} \cdot \frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3})$

解题步骤 10.3.4

用 $1$ 除以 $0.02$ 。

$t = - (50 \frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3})$

解题步骤 10.3.5

组合 $50$ 和 $\frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3}$ 。

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3}$

解题步骤 10.3.6

从 $- 50 \ln (1.03)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03)) + 3}$

解题步骤 10.3.7

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03)) - 1 (- 3)}$

解题步骤 10.3.8

从 $- (50 \ln (1.03)) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03) - 3)}$

解题步骤 10.3.9

化简表达式。

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解题步骤 10.3.9.1

将 $- (50 \ln (1.03) - 3)$ 重写为 $- 1 (50 \ln (1.03) - 3)$ 。

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- 1 (50 \ln (1.03) - 3)}$

解题步骤 10.3.9.2

将负号移到分数的前面。

$t = - - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

解题步骤 10.3.9.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$t = 1 \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

解题步骤 10.3.9.4

将 $\frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$t = \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

小数形式：

$t = 58.16808110 \dots$

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